KPSS Çıkmış Sorular Pro

🎲 Matematik — Kümeler, Fonksiyonlar ve Olasılık

Kümeler, Fonksiyonlar ve Olasılık — Özet Notlar

Bu bölüm, sözel ve sayısal problemlerle küme, fonksiyon, sayma ve olasılık konularını ölçer. Boş küme, hiç eleman içermeyen kümedir; ∅ veya { } biçiminde gösterilir ve her kümenin alt kümesidir. Bir kümenin eleman sayısı n ise, alt küme (kuvvet kümesi eleman) sayısı 2^n, öz alt küme sayısı ise 2^n − 1'dir; çünkü kümenin kendisi öz alt küme sayılmaz. Eleman sayısı problemlerinde içerme-dışlama ilkesi temeldir: iki kümenin birleşimi için s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B) formülü kullanılır.

Fonksiyon tanımlı olması için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü olmalıdır. Bire bir (injektif) fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıdır; yani f(x₁)=f(x₂) ise x₁=x₂ olur. Örten (sürjektif) fonksiyonda ise görüntü kümesi değer kümesine eşittir; değer kümesinin her elemanı en az bir görüntüdür. Bileşke işleminde (fog)(x) = f(g(x)) geçerlidir: önce g, sonra f uygulanır ve işlem genellikle değişme özelliği taşımaz.

Sayma konularında sıralamanın önemli olup olmadığına dikkat edilir:

Olasılık hesaplarında, eş olasılıklı örnek uzayda bir olayın olasılığı istenen durum sayısının tüm mümkün durum sayısına oranıdır: P(A) = s(A) / s(E). Her olasılık değeri 0 ≤ P(A) ≤ 1 aralığındadır; imkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1'dir. Bir olayın tümleyeni için P(A') = 1 − P(A) kullanılır. Ayrık (bağdaşmayan) olaylarda P(A∪B) = P(A) + P(B) iken genel durumda P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) geçerlidir. Bağımsız olaylarda çarpma kuralı işler: P(A∩B) = P(A)·P(B). Sayısal ve sözel mantık soruları ile sayı örüntülerinde ise verilen serideki kural bulunarak akıl yürütmeyle sonraki terim belirlenir.

Tüm deneme sınavını ücretsiz çöz

Örnek sorular (35)

1. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin (kuvvet kümesinin eleman) sayısı aşağıdakilerden hangisiyle hesaplanır?

  1. 2^n
  2. n^2
  3. 2n
  4. n!

n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2^n formülüyle bulunur. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (alt küme sayısı formülü))

2. Eleman içermeyen ve her kümenin alt kümesi olan kümeye ne ad verilir?

  1. Boş küme
  2. Evrensel küme
  3. Tümleyen küme
  4. Denk küme

Boş küme, hiç eleman içermeyen kümedir; ∅ veya { } ile gösterilir ve her kümenin alt kümesidir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (boş küme tanımı))

3. 5 elemanlı bir kümenin kaç tane alt kümesi vardır?

  1. 32
  2. 25
  3. 10
  4. 16

5 elemanlı kümenin alt küme sayısı 2^5 = 32'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (alt küme sayısı formülü))

4. 4 elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı kaçtır?

  1. 15
  2. 16
  3. 14
  4. 8

Öz alt küme sayısı 2^n − 1 formülüyle bulunur; 2^4 − 1 = 16 − 1 = 15'tir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (öz alt küme tanımı))

5. İki kümenin birleşiminin eleman sayısını veren içerme-dışlama formülü aşağıdakilerden hangisidir?

  1. s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B)
  2. s(A∪B) = s(A) + s(B) + s(A∩B)
  3. s(A∪B) = s(A) · s(B)
  4. s(A∪B) = s(A) − s(B)

Birleşimin eleman sayısı, ortak elemanların iki kez sayılmasını önlemek için s(A)+s(B)−s(A∩B) ile bulunur. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

6. Bir sınıfta s(A) = 18 öğrenci futbol, s(B) = 12 öğrenci basketbol oynamaktadır. Hem futbol hem basketbol oynayanların sayısı 5 ise, en az bir spor oynayan öğrenci sayısı kaçtır?

  1. 25
  2. 30
  3. 23
  4. 35

s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B) = 18 + 12 − 5 = 25'tir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

7. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A − B (A fark B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. {1, 2}
  2. {6, 7}
  3. {3, 4, 5}
  4. {1, 2, 6, 7}

A − B kümesi, A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur; bunlar 1 ve 2'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (fark işlemi))

8. A = {a, b, c, d} ve B = {c, d, e, f} kümeleri veriliyor. A ∩ B (A kesişim B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. {c, d}
  2. {a, b}
  3. {e, f}
  4. {a, b, c, d, e, f}

Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur; bunlar c ve d'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (kesişim işlemi))

9. İki kümenin birleşimi (A∪B) için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A veya B kümelerinin en az birinde bulunan tüm elemanlardan oluşur
  2. Yalnızca A ve B'nin ortak elemanlarından oluşur
  3. A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur
  4. Hiçbir elemanı içermez

Birleşim kümesi, A ya da B'den en az birine ait olan tüm elemanları kapsar. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim işlemi))

10. Bir grupta 40 kişi vardır. Bunlardan 22'si çay, 18'i kahve içmektedir. Hiçbirini içmeyen 8 kişi olduğuna göre, hem çay hem kahve içen kaç kişidir?

  1. 8
  2. 10
  3. 6
  4. 12

En az birini içen = 40 − 8 = 32; s(A∩B) = s(A)+s(B)−s(A∪B) = 22+18−32 = 8'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

11. Bir kümenin alt kümelerinin sayısı ile öz alt kümelerinin sayısı toplandığında 63 elde ediliyor. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

  1. 5
  2. 6
  3. 4
  4. 7

2^n + (2^n − 1) = 63 ise 2·2^n = 64, 2^n = 32 = 2^5 olur; dolayısıyla n = 5'tir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (alt küme ve öz alt küme sayıları))

12. 3 elemanlı bir A kümesinin alt küme sayısı ile 4 elemanlı bir B kümesinin alt küme sayısının toplamı kaçtır?

  1. 24
  2. 20
  3. 16
  4. 32

A'nın alt küme sayısı 2^3 = 8, B'nin 2^4 = 16'dır; toplam 8 + 16 = 24'tür. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (alt küme sayısı formülü))

13. n elemanlı bir kümenin r'li permütasyonlarının sayısı P(n,r) aşağıdaki formüllerden hangisiyle hesaplanır?

  1. n! / (n−r)!
  2. n! / [r!·(n−r)!]
  3. n! · r!
  4. (n−r)! / n!

Permütasyonda sıralama önemlidir ve P(n,r) = n! / (n−r)! formülüyle hesaplanır. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (permütasyon formülü))

14. Faktöriyel tanımına göre 0! (sıfır faktöriyel) değeri kaçtır?

  1. 1
  2. 0
  3. Tanımsız
  4. Sonsuz

Faktöriyel tanımı gereği 0! = 1 kabul edilir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (faktöriyel tanımı))

15. 5! (5 faktöriyel) değeri kaçtır?

  1. 120
  2. 25
  3. 20
  4. 60

5! = 5·4·3·2·1 = 120'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (faktöriyel tanımı))

16. Permütasyon ile kombinasyon arasındaki temel fark aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Permütasyonda sıralama önemlidir, kombinasyonda önemli değildir
  2. Kombinasyonda sıralama önemlidir, permütasyonda önemli değildir
  3. İkisinde de sıralama önemlidir
  4. İkisinde de sıralama önemsizdir

Permütasyonda elemanların dizilişi (sıralama) sonucu değiştirirken, kombinasyonda yalnızca seçilen elemanlar önemlidir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ve Kombinasyon üniteleri)

17. 5 farklı kitap bir rafa yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. 120
  2. 25
  3. 60
  4. 20

5 farklı nesnenin sıralanışı 5! = 120 farklı şekilde yapılabilir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (permütasyon formülü))

18. 7 kişilik bir gruptan başkan ve başkan yardımcısı seçilecektir. Kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?

  1. 42
  2. 21
  3. 49
  4. 14

Sıralama önemli olduğundan P(7,2) = 7! / 5! = 7·6 = 42'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (permütasyon formülü))

19. P(6,3) permütasyonunun değeri kaçtır?

  1. 120
  2. 720
  3. 20
  4. 216

P(6,3) = 6! / (6−3)! = 6·5·4 = 120'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (permütasyon formülü))

20. 4 erkek ve 3 kadın bir sıraya, kadınlar yan yana gelecek şekilde kaç farklı biçimde oturabilir?

  1. 720
  2. 5040
  3. 144
  4. 288

3 kadın bir blok sayılırsa 5 birim 5! = 120 şekilde, kadınlar kendi aralarında 3! = 6 şekilde sıralanır; 120·6 = 720'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (gruplandırılmış permütasyon))

21. 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

  1. 48
  2. 60
  3. 64
  4. 100

Yüzler basamağı 0 olamaz (4 seçenek), kalan iki basamak diğer rakamlardan sıralanır: 4·4·3 = 48'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Permütasyon ünitesi (sayma ve permütasyon))

22. 2, 5, 8, 11, 14, ... örüntüsünde bir sonraki terim kaçtır?

  1. 17
  2. 16
  3. 15
  4. 18

Her terim bir öncekine 3 eklenerek elde edilir; 14 + 3 = 17'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Sayı örüntüleri (aritmetik örüntü))

23. 3, 6, 12, 24, ... örüntüsünde bir sonraki terim kaçtır?

  1. 48
  2. 36
  3. 30
  4. 72

Her terim bir öncekinin 2 katıdır (geometrik örüntü); 24·2 = 48'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Sayı örüntüleri (geometrik örüntü))

24. 1, 4, 9, 16, 25, ... örüntüsünde bir sonraki terim kaçtır?

  1. 36
  2. 30
  3. 35
  4. 49

Terimler ardışık tam sayıların kareleridir (1², 2², 3², ...); altıncı terim 6² = 36'dır. (MEB Ortaöğretim Matematik — Sayı örüntüleri (kare sayı örüntüsü))

25. İlk terimi 4, ortak farkı 3 olan aritmetik bir örüntünün 10. terimi kaçtır?

  1. 31
  2. 30
  3. 34
  4. 28

Aritmetik örüntüde n. terim a + (n−1)·d ile bulunur; 4 + 9·3 = 4 + 27 = 31'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Sayı örüntüleri (aritmetik örüntünün genel terimi))

26. 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Fibonacci örüntüsünde 8'den sonra gelen terim kaçtır?

  1. 13
  2. 11
  3. 16
  4. 10

Fibonacci örüntüsünde her terim kendinden önceki iki terimin toplamıdır; 5 + 8 = 13'tür. (MEB Ortaöğretim Matematik — Sayı örüntüleri (Fibonacci dizisi))

27. 2, 6, 12, 20, 30, ... örüntüsünde bir sonraki terim kaçtır?

  1. 42
  2. 40
  3. 36
  4. 44

Ardışık terimler arasındaki farklar 4, 6, 8, 10 biçiminde ikişer artar; 30 + 12 = 42'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Sayı örüntüleri (ikinci dereceden örüntü))

28. n elemanlı bir kümenin bütün alt kümelerinin (kuvvet kümesinin) sayısı hangi ifadeyle bulunur?

  1. 2^n
  2. n^2
  3. 2n
  4. n!

Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı 2^n ile hesaplanır. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (alt küme sayısı formülü))

29. n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı hangi ifadeyle verilir?

  1. 2^n − 1
  2. 2^n
  3. 2^n + 1
  4. 2^(n−1)

Kümenin kendisi öz alt küme sayılmadığı için öz alt küme sayısı 2^n − 1'dir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (öz alt küme tanımı))

30. 6 elemanlı bir kümenin kaç tane öz alt kümesi vardır?

  1. 63
  2. 64
  3. 32
  4. 62

Öz alt küme sayısı 2^n − 1 = 2^6 − 1 = 63 olarak bulunur. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (öz alt küme tanımı))

31. İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı için içerme-dışlama ilkesine göre doğru eşitlik hangisidir?

  1. s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B)
  2. s(A∪B) = s(A) + s(B) + s(A∩B)
  3. s(A∪B) = s(A) · s(B)
  4. s(A∪B) = s(A) − s(B)

Ortak elemanlar iki kez sayıldığı için s(A∩B) bir kez çıkarılır: s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B). (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

32. s(A) = 18, s(B) = 15 ve s(A∪B) = 25 olduğuna göre s(A∩B) kaçtır?

  1. 8
  2. 10
  3. 7
  4. 33

s(A∩B) = s(A) + s(B) − s(A∪B) = 18 + 15 − 25 = 8 bulunur. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

33. Bir sınıfta 25 öğrenci futbol, 20 öğrenci basketbol oynamaktadır. 8 öğrenci her iki sporu da yapıyorsa, en az bir spor yapan öğrenci sayısı kaçtır?

  1. 37
  2. 45
  3. 53
  4. 28

s(A∪B) = 25 + 20 − 8 = 37 öğrenci en az bir spor yapmaktadır. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

34. 40 kişilik bir grupta 25 kişi futbol, 20 kişi basketbol seviyor; 8 kişi ikisini de seviyor. Bu sporların hiçbirini sevmeyen kaç kişi vardır?

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 12

En az birini seven = 25 + 20 − 8 = 37; hiçbirini sevmeyen = 40 − 37 = 3 kişidir. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

35. s(A) = 18 ve s(A∩B) = 8 olduğuna göre, yalnızca A kümesine ait olan (yalnız A) eleman sayısı kaçtır?

  1. 10
  2. 26
  3. 8
  4. 18

Yalnız A = s(A) − s(A∩B) = 18 − 8 = 10 elemandır. (MEB Ortaöğretim Matematik — Kümeler ünitesi (birleşim eleman sayısı / içerme-dışlama))

Diğer konular

Ücretsiz başla