KPSS Çıkmış Sorular Pro

➗ Matematik — Üslü, Köklü Sayılar ve Cebir

Üslü, Köklü Sayılar ve Cebir — Özet Notlar

Bu konu; üslü ve köklü sayıların kurallarını, çarpanlara ayırmayı, denklem ve eşitsizlik çözümlerini, mutlak değeri ve orantıyı kapsar. Üslü sayılarda temel kurallar sınavda sık çıkar: aynı tabanlı çarpımda üsler toplanır (a^m · a^n = a^(m+n)), bölmede üsler çıkarılır (a^m / a^n = a^(m−n), a ≠ 0). Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir (a^0 = 1, a ≠ 0); 0^0 tanımsızdır. Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüdür: a^(−n) = 1 / a^n (a ≠ 0).

Köklü sayılar üslü sayılarla ilişkilidir: kesirli üs kök cinsinden yazılır, a^(m/n) = ⁿ√(a^m) ve a^(1/n) = ⁿ√a. Bir ifadenin karekökü ile karesi arasında √(a²) = |a| bağıntısı vardır (her reel a için). Reel sayılarda çift dereceden kökün içi negatif olamaz; √a ifadesinin reel olması için a ≥ 0 olmalıdır. Paydayı rasyonel yaparken payda ve pay uygun kök ya da eşleniği ile çarpılır.

Çarpanlara ayırmada temel özdeşlikleri bilmek gerekir:

Denklem ve denklem sistemleri problemlere uygulanırken bilinmeyenler tanımlanıp eşitlikler kurulur; yerine koyma veya yok etme yöntemi kullanılır. Eşitsizliklerde önemli kural şudur: bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir. Mutlak değerde tanım gereği x ≥ 0 için |x| = x, x < 0 için |x| = −x olduğundan her x için |x| ≥ 0'dır. Mutlak değerli denklemde a > 0 iken |x| = a ise x = a veya x = −a; a = 0 ise x = 0; a < 0 ise çözüm yoktur. Ayrıca üçgen eşitsizliği geçerlidir: her reel a, b için |a + b| ≤ |a| + |b|. Oran ve orantıda doğru orantıda oran sabit kalır; ters orantıda çarpım sabit kalır ve problem kurulumunda bu ayrım dikkatle uygulanır.

Tüm deneme sınavını ücretsiz çöz

Örnek sorular (35)

1. Tabanları aynı olan iki üslü sayı çarpılırken üsler nasıl işlem görür? (a^m · a^n)

  1. Üsler toplanır: a^(m+n)
  2. Üsler çarpılır: a^(m·n)
  3. Üsler çıkarılır: a^(m−n)
  4. Tabanlar toplanır: (2a)^(m+n)

Aynı tabanlı üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: a^m · a^n = a^(m+n). (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler; KPSS Genel Yetenek Matematik)

2. 2^3 · 2^4 işleminin sonucu kaçtır?

  1. 128
  2. 64
  3. 512
  4. 96

Aynı tabanda üsler toplanır: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (çarpma kuralı))

3. 2^5 / 2^2 işleminin sonucu kaçtır?

  1. 8
  2. 4
  3. 16
  4. 32

Aynı tabanlı bölmede üsler çıkarılır: 2^5 / 2^2 = 2^(5−2) = 2^3 = 8. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (bölme kuralı))

4. Sıfırdan farklı bir a sayısı için a^0 ifadesinin değeri nedir?

  1. 1
  2. 0
  3. a
  4. Tanımsız

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir: a^0 = 1 (a ≠ 0). (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler kuralları)

5. 5^0 + 3^0 işleminin sonucu kaçtır?

  1. 2
  2. 8
  3. 0
  4. 1

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1 olduğundan 5^0 + 3^0 = 1 + 1 = 2 olur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (a^0 = 1))

6. Negatif üslü bir sayı olan 3^(−2) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1/9
  2. −9
  3. −6
  4. 9

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüdür: 3^(−2) = 1/3^2 = 1/9. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (negatif üs))

7. (2^3)^2 ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 64
  2. 32
  3. 128
  4. 12

Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: (2^3)^2 = 2^(3·2) = 2^6 = 64. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (üssün üssü))

8. 10^(−3) ifadesinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0,001
  2. 0,01
  3. −1000
  4. 1000

10^(−3) = 1/10^3 = 1/1000 = 0,001 olur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (negatif üs, 10 tabanı))

9. 27^(2/3) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 9
  2. 18
  3. 6
  4. 3

Rasyonel üs kök cinsinden yazılır: 27^(2/3) = (∛27)^2 = 3^2 = 9. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü ve Üslü İfadeler ilişkisi (rasyonel üs))

10. 16^(3/4) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 8
  2. 12
  3. 64
  4. 4

16^(3/4) = (⁴√16)^3 = 2^3 = 8 olur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Rasyonel üslü ifadeler)

11. (1/2)^(−3) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 8
  2. 1/8
  3. −8
  4. 6

Negatif üs alınırken kesir ters çevrilir: (1/2)^(−3) = 2^3 = 8. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (negatif üs, kesirli taban))

12. 2^4 · 2^n = 2^9 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?

  1. 5
  2. 4
  3. 36
  4. 13

Çarpmada üsler toplandığından 4 + n = 9 olur, buradan n = 5 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (çarpma kuralı ile denklem))

13. 2^x = 32 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

  1. 5
  2. 4
  3. 6
  4. 16

32 = 2^5 olduğundan 2^x = 2^5 eşitliğinden x = 5 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü Denklemler (taban eşitleme))

14. 3^(x+1) = 81 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

  1. 3
  2. 2
  3. 4
  4. 27

81 = 3^4 olduğundan x + 1 = 4 olur, buradan x = 3 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü Denklemler)

15. 2^x + 2^x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. 2^(x+1)
  2. 4^x
  3. 2^(2x)
  4. 2^(x²)

İki eşit terimin toplamı 2 katıdır: 2^x + 2^x = 2 · 2^x = 2^(x+1). (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (ortak çarpan/çarpma kuralı))

16. 9^x = 3^(x+2) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

  1. 2
  2. 1
  3. 4
  4. 3

9 = 3^2 olduğundan 3^(2x) = 3^(x+2), yani 2x = x + 2 olur ve x = 2 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü Denklemler (taban eşitleme))

17. 4^x = 8 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 3/2
  2. 2
  3. 2/3
  4. 3

4^x = 2^(2x) ve 8 = 2^3 olduğundan 2x = 3, yani x = 3/2 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü Denklemler (rasyonel çözüm))

18. a ≠ 0 olmak üzere (a^3)^2 / a^4 ifadesi sadeleştirildiğinde aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. a^2
  2. a^10
  3. a^(−2)
  4. a^6

(a^3)^2 = a^6 olur; a^6 / a^4 = a^(6−4) = a^2 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Üslü İfadeler (çarpma-bölme-üssün üssü))

19. x + y = 10 ve x − y = 4 denklem sistemine göre x kaçtır?

  1. 7
  2. 6
  3. 5
  4. 8

İki denklem taraf tarafa toplanınca 2x = 14, yani x = 7 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri)

20. 2x + y = 7 ve x − y = 2 denklem sistemine göre x kaçtır?

  1. 3
  2. 1
  3. 2
  4. 4

Denklemler toplanınca 3x = 9, yani x = 3 bulunur (ve y = 1). (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri (yok etme yöntemi))

21. x + y = 6 ve 3x + 2y = 16 denklem sistemine göre x kaçtır?

  1. 4
  2. 2
  3. 3
  4. 5

Birinci denklemin 2 katı ikinciden çıkarılınca x = 4 bulunur (ve y = 2). (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri (yerine koyma/yok etme))

22. x + 2y = 8 ve 3x − y = 3 denklem sistemine göre y kaçtır?

  1. 3
  2. 2
  3. 4
  4. 1

İkinci denklemden y = 3x − 3 yazılıp birinciye konursa x = 2 ve y = 3 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri (yerine koyma yöntemi))

23. Bir çiftlikte tavuk ve tavşan toplam 12 tanedir. Toplam ayak sayısı 32 olduğuna göre çiftlikte kaç tavuk vardır? (Tavuk 2, tavşan 4 ayaklıdır.)

  1. 8
  2. 4
  3. 6
  4. 10

x + y = 12 ve 2x + 4y = 32 sisteminden x = 8 (tavuk), y = 4 (tavşan) bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri ile Problem Çözme)

24. İki sayının toplamı 50, farkı 8'dir. Büyük sayı kaçtır?

  1. 29
  2. 21
  3. 25
  4. 31

x + y = 50 ve x − y = 8 sisteminden büyük sayı x = 29, küçük sayı y = 21 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri ile Sayı Problemleri)

25. 2 kalem ile 3 defterin fiyatı toplam 13 TL, 1 kalem ile 1 defterin fiyatı toplam 5 TL'dir. Buna göre bir kalemin fiyatı kaç TL'dir?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 1

2k + 3d = 13 ve k + d = 5 sisteminden kalem k = 2 TL, defter d = 3 TL bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri ile Alışveriş Problemleri)

26. Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katıdır. 10 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacaktır. Buna göre baba şu an kaç yaşındadır?

  1. 30
  2. 40
  3. 24
  4. 36

b = 3o ve b + 10 = 2(o + 10) sisteminden o = 10, b = 30 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri ile Yaş Problemleri)

27. Bir gişede satılan yetişkin bileti ile çocuk biletinden 2 yetişkin ve 3 çocuk bileti 95 TL, 1 yetişkin ve 2 çocuk bileti 55 TL tutmaktadır. Buna göre bir yetişkin biletinin fiyatı kaç TL'dir?

  1. 25
  2. 15
  3. 20
  4. 30

2A + 3C = 95 ve A + 2C = 55 sisteminden yetişkin A = 25 TL, çocuk C = 15 TL bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri ile Problem Çözme)

28. Bir kumbarada 5 kuruşluk ve 10 kuruşluk toplam 20 madeni para vardır. Paraların toplam değeri 150 kuruş olduğuna göre kumbarada kaç tane 10 kuruşluk para vardır?

  1. 10
  2. 8
  3. 12
  4. 6

x + y = 20 ve 5x + 10y = 150 sisteminden 5 kuruşluk x = 10, 10 kuruşluk y = 10 bulunur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Denklem Sistemleri ile Para Problemleri)

29. √12 · √3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 6
  2. 36
  3. 3√3
  4. 2√3

Aynı dereceden kökler çarpılırken içler çarpılır: √12·√3 = √36 = 6. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü İfadeler (kök çarpma kuralı))

30. √50 + √18 toplamının en sade biçimi hangisidir?

  1. √68
  2. 8√2
  3. 6√2
  4. 68√2

√50 = 5√2 ve √18 = 3√2 olduğundan toplam 5√2 + 3√2 = 8√2 olur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü İfadelerde toplama (benzer köklü terimler))

31. Her reel a sayısı için √(a²) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. a
  2. |a|
  3. −a
  4. a²

Karekök sonucu negatif olamayacağından √(a²) = |a| olur; bu her reel a için geçerlidir. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü İfadeler; Mutlak Değer (√(a²) = |a|))

32. 6 / √3 ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç hangisidir?

  1. 2√3
  2. 3√2
  3. 6√3
  4. √3

Pay ve payda √3 ile çarpılırsa 6√3 / 3 = 2√3 elde edilir. (MEB Matematik Öğretim Programı — Paydayı Rasyonel Yapma (tek terimli payda))

33. √72 − √8 işleminin sonucu hangisidir?

  1. 4√2
  2. 2√2
  3. √64
  4. 8

√72 = 6√2 ve √8 = 2√2 olduğundan fark 6√2 − 2√2 = 4√2 olur. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü İfadelerde çıkarma)

34. Gerçek (reel) sayılarda √a ifadesinin tanımlı (reel) olabilmesi için a sayısı ile ilgili hangi koşul sağlanmalıdır?

  1. a > 1 olmalıdır
  2. a ≥ 0 olmalıdır
  3. a ≤ 0 olmalıdır
  4. a bir tam sayı olmalıdır

Çift dereceden bir kökün içi negatif olamaz; bu nedenle √a'nın reel olması için a ≥ 0 olmalıdır. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü İfadeler (reel sayılarda tanım kümesi))

35. √48 / √3 işleminin sonucu kaçtır?

  1. 4
  2. 16
  3. √45
  4. 2√3

Kökler bölünürken içler bölünür: √48/√3 = √16 = 4. (MEB Matematik Öğretim Programı — Köklü İfadelerde bölme kuralı)

Diğer konular

Ücretsiz başla